Comparaison entre ln(x) et x en 0 ... Dérivée … Montrer que 31 128 est une valeur approchée de 1 √17 à 5×10−4 près. Le fait que l'on préfère commencer par définir la notion de fonction convexe et d'en déduire celle de fonction concave trouve son origine dans le fait que l'on définit aisément la notion d'ensemble convexe, alors que celle d'« ensemble concave Â» est moins naturelle. En mathématiques, une fonction f est dite concave lorsque la fonction opposée –f est convexe.. Le fait que l'on préfère commencer par définir la notion de fonction convexe et d'en déduire celle de fonction concave trouve son origine dans le fait que l'on définit aisément la notion d'ensemble convexe, alors que celle d'« … Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, la fonction exp o u qui à x associe eu (x) est dérivable sur I, et on a : (exp o u)' = u' x exp o u ou encore (eu)' = u' x eu Exercice 10 (voir réponses et correction) Justifier que chacune des fonctions est dérivable sur IR , calculer la dérivée et étudier le signe de cette dérivée. On désigne ici par fonction un attribut essentiel, soit solidaire de la nature d'un être (I A) soit reconnu par convention à une institution ou à un élément (I B). Exercice 5. Tracer la courbe repr�sentant le b�n�fice B dans l�intervalle [5�; 60]. Cette définition est équivalente à la définition suivante : Définition — Une fonction f d'un intervalle réel I vers ℝ est dite concave lorsque, pour tous x1 et x2 de I et tout t dans [0 ; 1] on a : Proposition — Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. 2� - Etudiez et repr�sentez graphiquement C ( x ) pour I =[ 1�; 25 ] . Haut de page. ; Fixons .D'après le point 2(b) du théorème 1, la fonction est strictement croissante. f est concave si et seulement si sa dérivée seconde f '' est à valeurs négatives ou nulles. Exercice 1. Pour calculer ∫ b a f x ( ). dx = F(b) – F(a). x Cette fonction est notée exp et appelée fonction exponentielle . B ( x ) = V (x ) - C ( x ) = 16 x � ( x� - 24 x + 225 ) = 16 x - x� +24 x - 225 = � x� + 40 x - 225 Le b�n�fice est maximum pour 20 objets fabriqu�s, il s� � l � v e � 1 7 5 � . ... Voir les exercices sur : Croissances comparées, exercice 3. Mais une fonction concave n'est pas nécessairement dérivable, comme en témoigne la fonction x ↦ –|x|. R e p r � s e n t e r g r a p h i q u e m e n t V ( x ) . @ ha? ... Voir les exercices sur : Croissances comparées, exercice 3. Z � j � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � & $d %d &d. Faire un tableau pour voir comment la fonction croît. @ CJ OJ QJ aJ "h.] ha? �` �@ �@ �@ ; $ H8 � H8 ;` �@ ; ;` �@ �@ �\ � * � � �^ H8 8 ��L��� �6 = � �] _ $ �` 0 (a �] � g �? Déterminer sa fonction dérivée f ... Exercice n°16. Calculez-le. ... Dérivée de exp(u) Pour cela, calculer la dérivée seconde si … Quelle est la nature de la courbe obtenue�? Définition — une fonction f est dite concave lorsque la fonction opposée –f est convexe. C'est pourquoi l'analyse convexe existe en tant que discipline des mathématiques, mais pas l'« analyse concave Â». R e p r � s e n t e r g r a p h i q u e m e n t V ( x ) . @ OJ QJ eh @r� � @ # $ r � � � � � � � E soit . Calculez-le. En mathématiques, une fonction réelle d'une variable réelle est dite convexe si : . b � Pour conna�tre le b�n�fice maximum�: Calculer B�(x) o� B� est la d�riv�e de la fonction B d�finie par�: B(x) = - x �+ 90 x - 800 sur I = [5�; 60] Calculer la valeur nm qui annule B�(x). E x p r i m e r V ( x ) e n f o n c t i o n d e x . La fonction valeur absolue, c’est-à-dire f(x) = |x|, n’est pas forcément à connaître, ce qu’il faut savoir c’est comment manipuler et calculer des valeurs absolues. Exercice 5 : Chercher les modèles de Thévenin et de Norton des circuits suivants : Les batteries d’accumulateurs sont identiques … Exemple : Le nombre de naissances dans un pays est passé de 45 000 à 33 000. des phénomènes qui varient en fonction de certains paramètres. 4 � - E x p r i m e z l e r � s u l t a t b � n � f i c i a i r e B ( x ) e n f o n c t i on de x (on rappelle que le b�n�fice B est obtenu en soustrayant le co�t de fabrication C � la recette V). @ 5�>*CJ OJ QJ \�aJ ha? 6. 1. ; Fixons .D'après le point 2(b) du théorème 1, la fonction est strictement croissante. ha? Calculer la valeur de B correspondante et placer dans le rep�re le point de coordonn�es (nm�; B (nm ) ). Cours sur la dérivée et dérivation d’une fonction : cours de maths en terminale S Bissectrice d’un angle : exercices Maths 6ème corrigés Calculs sur les fractions : correction des exercices en quatrième Dans cette acception I, le terme fonction, se différencie du terme rôle qui implique un emprunt, une activité d'ordre mécanique. Rem. @ mH sH ha? Le nombre d�appareils fabriqu�s par jour est n. Le co�t de fabrication, en euros, de ces n appareils est donn� par la relation�: C (n ) = n�+ 160n +800 avec 5 d" n d" 6 0 1 � - Q u e l e s t l e c o � t d e f a b r i c a t i o n d e 5 0 a p p a r e i l s � ? E x p r i m e r V ( x ) e n f o n c t i o n d e x . le corollaire suivant, fort pratique pour vérifier sans mal la concavité d'exemples spécifiques : La dernière modification de cette page a été faite le 9 décembre 2020 à 11:52. @ OJ QJ " j R�h.] La fonction valeur absolue. Exercice 5 : Chercher les modèles de Thévenin et de Norton des circuits suivants : Les batteries d’accumulateurs sont identiques (f.e.m. V ( x ) = 1 6 x . Calculer la fonction d´eriv´ee de f et ´etudier son signe. Convergence uniforme Etudier la convergence uniforme des deux suites de fonctions définies sur [0,1]par : 1. @ 5�6�mH sH ha? Tracer (Cf). Chercher la concavité de la fonction et les points d'inflexion. 4 � - E x p r i m e z l e r � s u l t a t b � n � f i c i a i r e B ( x ) e n f o n c t i o n d e x ( O n r a p p e l le que le b�n�fice B est obtenu en soustrayant le co�t de fabrication C � la recette V).Pour quelle valeur de x le b�n�fice est-il maximum�? 3� - L e s a r t i c l e s s o n t v e n d u s 1 6 � p i � c e . ��ࡱ� > �� R T ���� O P Q ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ q` �� � bjbjqPqP 4� : : � E �� �� �� � $ $ $ $ � � � � �6 �6 �6 �6 � �7 � � (a F 8 ( H8 H8 H8 H8 ; ; ; ;` =` =` =` =` =` =` $ nc h �e a` � � ; �: | ; ; ; a` $ $ H8 H8 ? Exercice 01 • Un taux d'évolution peut dépasser 100 %. D´eterminer le domaine de d´efinition Df de la fonction f. 2. 3 � - L e s a r t i c l e s s o n t v e n d u s 1 6 � p i � c e . Que vaut alors P max? En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Fonction exponentielle : Croissances comparées ... une autre méthode est proposée en exercice.) des phénomènes qui varient en fonction de certains paramètres. ... Dérivabilité et dérivée. Pr�ciser le nombre d�appareils � fabriquer pour obtenir le b�n�fice maximum. Montrer que p 10 2=Q. @ OJ QJ mH sH h�*� ha? Montrer que p 10 2=Q. Position d’une comète en fonction du temps, variation du volume d’un gaz en fonction de la température et de la pression, nombre de bactérie en ... 5 Dérivée d’une fonction69 ... Exercice 1. 2 � - L e b � n � f i c e B r � a l i s � p o u r l a v e n t e d e n a p p a r e i l s e s t d o n n � p a r B ( n ) = - n � + 9 0 n - 8 0 0 a S a c h a n t q u e l e b � n � f i c e B e s t o b t e n u e n s o u s t r a y a n t l e c o � t d e f a b r i c a t i o n C � l a r e c e t t e R , retrouver la recette obtenue pour la vente d�un appareil � cire. 1. soit . Calculer la dérivée et chercher ses zéros. et préparateur de concours pour la fonction publique Coordonné par Pierre-Brice Lebrun Formateur dans plusieurs délégations du CNFPT, examinateur et correcteur au CNFPT Île-de-France 700 tests psychotechniques et de raisonnement logique 5e édition FONCTION PUBLIQUE Méthode et exercices 9782311205671_001 … Le taux d'évolution est donc t= 33000−45000 45000 ≈–0,27 , soit une baisse de 27 % environ. Le taux d'évolution est donc t= 33000−45000 45000 ≈–0,27 , soit une baisse de 27 % environ. 2 l’intégrale d’une fonction continue. En mathématiques, une fonction f est dite concave lorsque la fonction opposée –f est convexe. E x e r c i c e 6 � : 1 � - C o � t d e f a b r i c a t i o n d e 5 0 a p p a r e i l s � : C ( 5 0 ) = 5 0 � + 1 6 0 x 5 0 + 8 0 0 = 2 5 0 0 + 8 0 0 0 + 8 0 0 = 1 1 3 0 0 2 � - L e b � n � f i c e B r � a l i s � p o u r l a v e n t e d e n a p p a r e i l s e s t d o n n � p a r B ( n ) = - n � + 9 0 n - 8 0 0 a R e c e t t e o b t e n # $ % 1 2 O n o q r u | } � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���̺����sk`k`k`k`ksk`k`k`k`kU ha? Exercice sur le choix de la formule de trigonométrie à utiliser pour calculer une longueur dans un triangle rectangle. Exercice 4 : Déterminer la puissance P consommée par R C (en fonction de E, R C et R) : Pour quelle valeur de R C la puissance consommée est-elle maximale ? Quelle est la nature de la courbe obtenue�? Fonction logarithme/Croissances comparées », n'a pu être restituée correctement ci-dessus. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. � g 4 �^ g � �^ t ; ; �@ ; ; ; ; ; a` a` s@ ; ; ; (a ; ; ; ; � � � � x) $ � � � x) � � � $ $ $ $ $ $ ���� Exercices�: D�riv�e d�une fonction �Exercice 1�: Calculez les d�riv�es des fonctions suivantes, d�finies sur (�: a � f ( x ) = 2x� - 7x + 9 b � f ( x ) = 3x� - 4x - 5 c � f ( x ) = 3 - 4x d � f ( x ) = EQ \s\do1(\f(1;4)) x � +4 x +3 � Exercice 2 : D�terminez l��quation de la tangente � la courbe ( C )repr�sentant la fonction f au point A d�abscisse xA dans les cas suivants�: a � f ( x ) = x� + 3x - 12 xA = 5 b � f ( x ) = x3 - 3x + 6 xA = 1 � Exercice 3 : Dressez le tableau des variations de la fonction suivante�: f ( x ) = 2x� - 6x + 5 sur I = [ - 1; 4 ] Exercice 4�: Le co�t total de production d�un article varie en fonctions du nombre d�objets x fabriqu�s�suivant la formule�: C ( x ) = x� - 24 x + 225 .� 1� - Calculez�: C ( 1 )�; C ( 10 )�; C ( 15 )�; C ( 20 )�; C ( 25 ). 2. Fonction logarithme/Croissances comparées », n'a pu être restituée correctement ci-dessus. On définit alors les fonctions convexes comme celles ayant un épigraphe convexe (les fonctions concaves ont un hypographe convexe). @ 5�CJ OJ QJ \�aJ %h.] Remarques : • Si t>0, il s'agit d'une augmentation, si t<0, il s'agit d'une diminution. Nous allons cependant te présenter à quoi ressemble la courbe, juste pour ta culture mathématique La courbe obtenue est une parabole. Que vaut alors P max? O n d � s i g n e p a r V ( x ) l e m o n t a n t c o r r e s p o n d a n t � l a v e n t e d e x a r t i c l e s . Exercice 1 Etude complète des fonctions suivantes 1. f 1(x)= 1+x 2 x3 (arctanx x 1+x2). O n d � s i g n e p a r V ( x ) l e m o n t a n t c o r r e s p o n d a n t � l a v e n t e d e x a r t i c l e s . @ OJ QJ h�� OJ QJ ha? f 2 est dérivable sur Rnp 2Z en vertu de théorèmes généraux et pour x 2= p 2 Z, ... P est une fonction polynôme de degré 3 strictement croissante sur R et s’annule Corrig´e Exercice n˚3: On donne la fonction f d´efinie par f(x) = 3 x2 +2x− 3, et on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e. dx, il suffit de disposer d’une primitive de f, c’est-à-dire d’une fonction F dont la dérivée est f. Et alors ∫ b a f x ( ). h.] CJ OJ QJ aJ h.] h.] CJ OJ QJ aJ h.] ha? On désigne ici par fonction un attribut essentiel, soit solidaire de la nature d'un être (I A) soit reconnu par convention à une institution ou à un élément (I B). Rem. Exercice 4 : Déterminer la puissance P consommée par R C (en fonction de E, R C et R) : Pour quelle valeur de R C la puissance consommée est-elle maximale ? �Exercice 1�: Calculez les d�riv�es des fonctions suivantes, d�finies sur (�: a � f �( x ) = 4x - 7 b � f �( x ) = 6x - 4 c � f �( x ) = - 4 d � f� ( x ) = EQ \s\do1(\f(1;2)) x +4 � Exercice 2 : D�terminez l��quation de la tangente � la courbe ( C )repr�sentant la fonction f au point A d�abscisse xA dans les cas suivants�: a � f ( x ) = x� + 3x - 12 xA = 5 Calculons f ( 5 ) = 5� + 3x5 - 12 = 25 + 15 � 12 = 28 Calculons la d�riv�e�: f� ( x ) = 2x + 3 soit�: f�( 5 ) = 2x5 + 3 = 13 �quation de la tangente�: y = ax + b soit y = 13x + b soit 28 = 13 x 5 + b Alors�: b = 28 � 65 = -37�; L��quation de la tangente est�: y = 13x - 37 b � f ( x ) = x3 - 3x + 6 xA = 1 �Calculons f ( 1 ) = 13 - 3x1 + 6 = 1 -3 +6 = 4 Calculons la d�riv�e�: f� ( x ) = 3x� - 3 soit�: f�( 1 ) = 3x1 - 3 = 0 �quation de la tangente�: y = ax + b soit y = 0x + b soit 4 = 0 x 1 + b Alors�: b = 4�; L��quation de la tangente est�: y = 0x + 4 soit y =4 Exercice 3 : Dressez le tableau des variations des fonctions suivantes�: a � f ( x ) = 2x� - 6x + 5 sur I = [ - 1; 4 ] x -1 1,5 4f �( x ) - 0 +f ( x )13 13 0,5 Exercice 4�: Le co�t total de production d�un article varie en fonctions du nombre d�objets x fabriqu�s�suivant la formule�: C ( x ) = x� - 24 x + 225 .� 1� - Calculez�: C ( 1 )�; C ( 10 )�; C ( 15 )�; C ( 20 )�; C ( 25 ). @ OJ QJ ha? Ce théorème de Newton-Leibniz est aussi appelé théorème fondamental du calcul différentiel et Allez à : Correction exercice 15 Exercice 6. On en déduit d'une part que est strictement positif, d'autre part que est une bijection de dans .La relation montre que la fonction réciproque de est la fonction qui à associe .Cette fonction est donc strictement croissante et … Pour quelle valeur de x le b�n�fice est-il maximum�? Exemple : Le nombre de naissances dans un pays est passé de 45 000 à 33 000. Quel est ce b�n�fice maximum�? y • Pour tous réels k et a , il existe une unique fonction f , définie et dérivable sur IR, telle que f ' = kf et f(0) = a. Cette fonction f est définie par : f(x) = a × exp (kx ) pour tout x ∈ IR . Dans cette acception I, le terme fonction, se différencie du terme rôle qui implique un emprunt, une activité d'ordre mécanique. Position d’une comète en fonction du temps, variation du volume d’un gaz en fonction de la température et de la pression, nombre de bactérie en ... 5 Dérivée d’une fonction69 ... Exercice 1. Exercice 5�: L�entreprise RAVEL fabrique des appareils � cire. Dressez le tableau de variations de la fonction B(x). 5. quels que soient deux points A et B du graphe de la fonction, le segment [AB] est entièrement situé au-dessus du graphe, c’est-à-dire que la courbe représentative de la fonction se situe toujours en dessous de ses cordes, ou; l'épigraphe de la fonction … Parmi les fonctions concaves simples, on peut citer évidemment par définition les opposées des fonctions réelles convexes, par exemple : Citons également certaines réciproques de fonctions convexes, par exemple sur ℝ+* : De manière plus générale, les fonctions deux fois dérivables dont la dérivée seconde est toujours négative sont des fonctions concaves. x 110152025C ( x )2028590145250 2� - Etudiez et repr�sentez graphiquement C ( x ) pour I =[ 1�; 25 ] . Soit f la fonction définie sur IR par f ()xx=+(2)ex Déterminez les nombres a et b tels que la fonction F, définie sur IR, par F()xa=+(xb)ex soit une primitive de f. Exercice n°17. Comparaison entre ln(x) et x en 0 ... Dérivée de ln(u) 2. f 2(x)=jtanxj+cosx. Remarques : • Si t>0, il s'agit d'une augmentation, si t<0, il s'agit d'une diminution. • Un taux d'évolution peut dépasser 100 %. Identifier les minima, les maxima et les points d'inflexion à tangente horizontale. Dresser le tableau de variation de f. 7. Ecrire la formule de Taylor-Lagrange pour la fonction (𝑥)=1 √𝑥 entre 16 et 17 avec un reste à l’ordre 2. Title: Exercices : Dérivée d’une fonction Author: Laurence Last modified by: Laurence Created Date: 9/20/2006 2:32:00 PM Other titles: Exercices : Dérivée d’une fonction exercice corrigé de la leçon sur les fonctions d'une variable réelle, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Fonction_concave&oldid=177438608, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence, que toute fonction concave et dérivable (sur un intervalle réel) est de. On déduit de la seconde caractérisation : Corollaire — Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I.