Donc dorénavant, nous allons supposer que la loi du vecteur aléatoire grand X, hein, maintenant grand X est un vecteur, admet une densité, donc ça va être une fonction petit f positive intégrable sur R puissance n et qui va être d'intégrale 1. Or, $$\int_0^1 f(x)dx=c\left[-\frac{(1-x)^5}{5}\right]_0^1=\frac c5.$$ et on conclut par comparaison à une intégrale de Riemann divergente. La masse volumique d’une substance correspond à la masse de cette substance dans une unité de volume. Montrer que $f$ est une densité de probabilité. $$\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\,dx\ .$$. &=&\frac{x+1}{2}. Ainsi, $f_2$ n'est pas la densité de probabilité d'une variable aléatoire. Démontrer que $$F(x)=F(0)+\frac{\ln 3}2\int_0^xe^{-t\ln 3}dt=\frac 12-\left(\frac{3^{-x}}{2}-\frac 12\right)=1-\frac{3^{-x}}{2}.$$ Démonstration: Changementdecoordonnées,→OnpeutsupposerH ⊂H0avecH0= {(x 1,x \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} $X_5$ admet une espérance. Par définition, une variable à densité . \textbf{5. $$\int_{-\infty}^0 3^xdx=\frac{1}{\ln 3}.$$ }f_6(x)=\sin x+1,\ x\in\mathbb R. On détermine la densité de $Y$ en dérivant cette fonction de répartition. La masse volumique, notée ρ (lettre grecque qui se prononce rho), s’exprime selon la relation suivante :. Loid’uncouplealéatoire. $$f(x)=\left\{ Calculer le cas échéant leur fonction de répartition et préciser si elles admettent une espérance. comprenant en particulier les ouverts et les fermés de , ainsi que Ainsi, $f$ est une densité de probabilité si et seulement si $a=\frac{\ln 3}{2}.$. On a $$\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^3}dx=\left[\frac{-1}{2x^2}\right]_1^{+\infty}=\frac{1}2.$$ Téléchargez des graphiques Concertation Abordable et rechercher parmi des images et vecteurs libres de droits. Par parité de cette fonction, on a 3.a) Trouver la loi du vecteur aléatoire (Xi X2 X). Démontrer que La fonction de répartition $F_{X_3}$ de cette variable aléatoire est donnée par Puisque $f_5$ est paire, $E(X_5)=0$. Puisque $f$ est continue et positive, pour que $f$ soit une densité, il faut et il suffit que $\int_{\mathbb R}f(x)dx=1$. On fait tendre $a$ vers $-\infty$ et $b$ vers $+\infty$. Que représente la courbe d'équation $y=\sqrt{1-x^2}$? Année 2019/2020 Variables aléatoires réelles, variables à densité : révisions et compléments – 3 1.2 Fonction de répartition Dans toute cette section, X désigne une variable aléatoire réelle. Supposons que pour une fonction Ainsi, $f$ est intégrable sur $\mathbb R$. Soit $f$ la fonction définie sur $\mtr$ par : En effet, soit X= (Y;"Y) un vecteur aléatoire de R2 tel que Y et "sont deux variables aléatoires réelles indépendantesavecY ˘N(0;1) et"suituneloideRademacherc’est-à-direP("= 1) = … alors X est appelée v.a.r. Soient pet qdeux réels compris entre 0 et 1. Par ailleurs, la fonction $f_3$ est paire. Il suffit alors de remarquer que si $0\leq \ell\leq 2$, l'équation $\sqrt{1-x^2}=\ell$ a une unique solution (il s'agit de $x=\sqrt{1-(\ell/2)^2}$). Un tribunal traute d'a aires de meurtres. $$\int_{\mathbb R}f(x)dx=2\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{2(1+x)^2}dx=\left[\frac{-1}{1+x}\right]_0^1=1.$$. \end{eqnarray*} Montrer que l'intégrale définissant l'espérance est divergente au voisinage de $+\infty$. Cet exercice est ´el ementaire. Faisant tendre $b$ vers $+\infty$ et $a$ vers $-\infty$, on trouve que $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$. $f$ est une fonction continue par morceaux et positive. Déterminer la loi de $T=-\frac 1\lambda\ln(1-X)$, où $\lambda>0$. Remarquons d'abord que $X$ est à valeurs dans $[0,1]$, $1-X$ est à valeurs dans $[0,1]$, donc $\ln(1-X)$ est à valeurs dans $]-\infty,0]$, et $T$ est à valeurs dans $\mathbb R_+$. Soit X vecteur gaussien de moyenne m et covariance K ... Soit Z ∈Rn une variable aléatoire à densité. \begin{eqnarray*} On reconnait la densité d'une loi exponentielle de paramètre $1$. $$E[L_3]=E[U]=\int_0^2u\,\frac{du}2=1\ .$$ Le vecteur aléatoire Z a alors pour densité f. Les questions suivantes permettent d’établir la validité de la méthode du rejet générale. \end{array}$$. En $+\infty$ ou $-\infty$, $f$ est équivalente à $\frac1{x^2}$ qui est une intégrale de Riemann convergente en l'infini. gaussiennes. On en déduit immédiatement que $I_p=(2p)!I_0$, et il est aisé de voir que $I_0=1$. Maintenant, pour $\lambda,t\geq 0$, $1-\exp(-\lambda t)\in [0,1]$, et donc, utilisant la fonction de répartition d'une loi uniforme, \textbf{4. 2019 - Découvrez le tableau "Logo dentaire" de Hamid Ghazi sur Pinterest. $$F_X(x)=\int_0^xf(t)dt=1-(1-x)^5.$$ \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} Unformatted text preview: ENSP, GI 4 2019-2020 Apprentissage statistique Rappels : Probabilité et variable aléatoire Fiche de TD n 1.Exercice 1. est une variable aléatoire $X$ de densité $f(x)=c(1-x)^4\mathbf 1_{[0,1]}$. \end{eqnarray*}. On cherche alors $x$ tel que la probabilité de consommer plus de x milliers de litre dans la semaine Vecteurs gaussiens On dit qu'une probabilité sur est gaussienne si elle a pour densité ou si .Il est normal d'adjoindre les mesures de Dirac aux lois gaussiennes car (lem.1.34) la mesure converge étroitement vers lorsque .Une v.a. On considère la variable aléatoire $Y=\ln(1+|X|)$ et on note $G$ sa fonction de répartition. De plus, la fonction $f$ est intégrable. &\quad\quad& Remarquons d'abord que $Y$ est à valeurs dans $\mathbb R_+$. Ainsi, $X_3$ admet une espérance. Déterminer la fonction de répartition et une densité de $Y$. Déterminer la densité de la loi de Z. Nous aimerions associer, quand c'est possible, une densité Bien sûr, le point $M$ sur le quart de cercle étudié est uniquement déterminé par son abscisse. Considérons d'abord le cas . $$h(X)=-\int_a^b \frac{1}{b-a}\ln\left(\frac 1{b-a}\right)dx=\ln(b-a).$$, On a Ainsi, $\int_{-1}^1 f_4(x)dx=1$ et $f_4$ est la densité de probabilité d'une variable aléatoire $X_4$. En effet, au voisinage de $-\infty$, on a Exercice 1.2 (Un exemple simple : lancer de dés) 1. Pour la première intégrale, utiliser la question 1. \begin{array}{ll} Dans une station-service, la demande hebdomadaire en essence, en milliers de litres, $$\frac12\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\,dx=\frac\pi4\ .$$ ρ = m/Vm Remarquons que $f_3$ est de la forme $u'/u^2$ avec $u(x)=e^x+1$. Utiliser le théorème de transfert plutôt que la densité. $f$ est une fonction définie sur $\mtr$, continue, positive. On dit que $X$ suit une loi log-normale de paramètres $(m,\sigma^2)$ si $Y=\ln X$ suit une loi normale Ainsi, si $t<0$, on a $G(t)=0$. $$x\mapsto f(x)\ln\frac{\varphi(x)}{f(x)}$$ On définit pour tout k e [1, 3]], la variable aléatoire Yk par : Yk Calculer les espérances des variables aléatoires Yk et (Yk) . On définit une variable aléatoire $Y$ par : La relation (2.2.13) implique immédiatement Déterminer $a$ pour que $f$ soit la densité de probabilité d'une variable aléatoire $X$. \end{eqnarray*} 1. $$\int_1^{+\infty}f(x)dx=\left[\frac{-2a}{\sqrt x}\right]_1^{+\infty}=2a.$$ Pour $t<0$, $g(t)=G'(t)=0$. On reconnait la fonction de répartition d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. La variable aléatoire $X$ admet une espérance si la fonction $x\mapsto xf(x)$ est intégrable. le résultat suivant. $$E(X_1)=\int_0^{\pi/2}x\cos(x)dx=\frac 12(\pi -2)$$ E(X)&=&\int_{-\infty}^0 xe^xdx\\ $Y$ prend ses valeurs dans $\mathbb R^+$, et on a : &=&\frac{e^t}{(1+e^t-1)^2}\\ Déterminer la densité de la loi de T. 3. $Y$ admet-elle une espérance? On a $Y\leq t\iff 2X+1\leq t\iff X\leq (t-1)/2.$ \end{array}\right. Soit $X$ une variable aléatoire positive admettant une densité $f$. Mais Exercice 3 Soient X une variable aléatoire à valeurs dans une partie de ¥ et A un événement de l'espace probabilisé considéré, tel que p(A)0„ . Remarque : si $X$ désigne l'absisse du point $M$, on a $X=\varepsilon\sqrt{1-(U/2)^2}$. \end{eqnarray*}. le changement dans l'ordre d'intégration étant justifié par le fait que tout est positif. La fonction $f$ est continue sur $\mtr$, positive si $a\geq 0$, et on a : Montrer que $\varphi$ réalise une bijection de $\mtr$ sur $]-1,1[$, et déterminer sa bijection réciproque. $$f_X(x)=\frac{1}{x}\phi'(\ln x)\mathbf 1_{[0,+\infty[}(x)=\frac{1}{x\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\ln^2 x}{2}}\mathbf 1_{[0,+\infty[}(x).$$. Feuille d’exercices 1. $$F_{X_3}(t)=\int_{-\infty}^t \frac{e^x}{(e^x+1)^2}dx=1-\frac{1}{e^t+1}.$$ $Y$ n'admet pas d'espérance. De plus, puisque $f_1$ est non-nulle seulement sur l'intervalle $[0,\pi/2]$, $X_1$ admet une espérance donnée par puisque $X$ est à valeurs dans $\mathbb R_-$. Déterminer le réel $a$ pour que $f$ soit une densité de probabilité d'une certaine variable aléatoire $X$. suivante, permet d'étendre la relation (2.2.7) à des admettant une entropie. L'integrale $\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\,dx$ correspondant à l'aire sous la courbe, cette intégrale vaut l'aire d'un demi disque de rayon 1. On reproduit la même démarche. Montrer que $f$ est une densité de probabilité d’une certaine variable aléatoire, que l’on notera $X$. vecteur aléatoire Zde R2 sera décrit dans la suite par son abscisse Xet son ordonnée Y i.e.Z= (X,Y).Onutiliseaussileterme«couplealéatoire»pourunvecteuraléatoirede dimension2. Ainsi, $f$ admet une espérance. Trouve-t-on le même résultat dans la question 1 et dans la question 2? Si le tirage amène pile, la corde choisie a sa longueur qui suit une loi uniforme sur $[0,2]$, donc sa longueur moyenne est 1. Il en est de même si l'extrémité $M$ se situe sur le quart de cercle $\overset{\frown}{DA}$. $$Y=\varphi(X)=\frac{e^X-1}{e^X+1}.$$ Calculer une masse volumique. 1. \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} Donc nous avons vu dans la séance 1 du cours 4 que la loi d'un vecteur aléatoire était caractérisée par sa fonction de répartition, et nous allons donc caractériser la loi du couple XY par sa fonction de répartition probabilité d'avoir grand X plus petit que x et grand Y plus petit y pour tout petit x et petit y dans R puissance n. Démontrer que, pour tout $x>0$, $\ln x\leq x-1$. Ce n'est pas une densité de probabilité. Donner une expression de la densité pour $x>1$. \textbf{3. Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi uniforme $\mathcal U([0,1])$. La fonction $f$ est continue sur $\mathbb R$ et positive. $$F_X(t)=\int_1^t\frac{1}{2x\sqrt x}dx=\left[\frac{-1}{\sqrt x}\right]_1^t=1-\frac1{\sqrt t}.$$. $X=e^Y$ ne prend ses valeurs que dans $[0,+\infty[$. &\quad\quad& $$F_{X_5}(t)=\frac 12.$$ A la n de chaque procès, deux jurés se prononcent. La densité conjointe des variables gaussiennes indépendantes est donnée \begin{eqnarray*} \end{array}\right.\\ Etudier les variations de $\varphi$. g(t)&=&G'(t)\\ $$f_3(-x)=\frac{\exp(-x)}{\big(\exp(-x)+1\big)^2}=\frac{\exp(-x)}{\exp(-2x)\big(1+\exp(x)\big)^2}=\frac{\exp(x)}{\big(\exp(x)+1\big)^2}.$$ Déterminer la fonction de répartition d'une variable aléatoire $X$ ayant $f$ pour densité. $$F(x)=\frac{1}{2}\ln 3\int_{-\infty}^x e^{t\ln 3}dt=\frac{3^x}{2}.$$ $f$ est bien une densité de probabilité. Exercice 4 Soit X une variable aléatoire de densité f (x) = a π(a2 +x2 ) avec a > 0. Soit $t\in\mathbb R$. On appelle $T$ une mesure de l'angle orienté $\widehat{BOM}$ et on fait l'hypothèse que $T$ suit une loi uniforme sur $[0,\pi]$. Pour $t>0$, par composition, $$f(x)=ce^{-|x|}.$$. Montrer que pour tout réel $\ell\in[0,2]$, il existe une unique corde orthogonale à $[AB]$, dont une extrémité $M$ est sur le quart de cercle $\overset{\frown}{BD}$ et dont la longueur vaut $\ell$. On calcule cette espérance par une intégration par parties. Par le théorème de Pythagore, $X^2+(L_1/2)^2=1$. Vérifier que \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} Pour l'instant il suffira de savoir que On va commencer par chercher la fonction de répartition $F_X(x)$ de $X$. $$\int_0^{+\infty}(1-F(x))dx=\int_0^{+\infty}\left(\int_x^{+\infty}f(t)dt\right)dx=\int_0^{+\infty}\left(\int_{0}^t dx\right)f(t)dt=\int_0^{+\infty}tf(t)dt$$ et donc pour tout $y\in]-1,1[$, on a : \begin{eqnarray*} Alors Pour la fonction de répartition, séparer les cas $x<0$ et $x\geq 0$. Les calculer. Donner un équivalent de la … Voici pour terminer une autre propriété remarquable des densités Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=\frac{a}{x\sqrt x}$ si $x\geq 1$ et $f(x)=0$ sinon. Elle est nulle à gauche de 0, égale à 1 à droite de 1, et si $x\in[0,1]$, on a D'autre part, puisque $f_4$ est nulle en dehors de $[-1,1]$, $X_4$ admet une espérance (il n'y a pas de problème de convergence d'intégrale). $$1-F(x)=P(X\geq x)=\int_x^{+\infty} f(t)dt$$ $$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}=\lim_{x\to+\infty}\arctan(x)-\lim_{x\to-\infty}\arctan(x)=\pi\neq 1.$$ &=&e^tF'(e^t-1)+e^t F'(1-e^t)\\ $X$ admet-elle une espérance? 2. {\bf Première méthode.} On considère que la corde aléatoire est déterminée par le choix d'une de ses extrémités $M$ sur le demi-cercle $\overset{\frown}{ADB}$. 0&\textrm{ sinon} $$\int_0^{+\infty}3^{-x}dx=\int_0^{\infty}e^{-x\ln 3}dx=\frac{1}{\ln 3},$$ Supposons maintenant $t\geq 0$. Pour $f_3$, reconnaitre une forme du type $u'/u^2$. Calculer la fonction de répartition de $X$. Enfin, puisque $f_4$ est paire, on a $E(X_4)=0$. a.3^{-x}&\textrm{si }x>0\\ 1) Déterminer la loi de U= X+ Y+ Z. $X$ est à valeurs dans $]-\infty,0]$, donc $F_X(t)=1$ si $t\geq 0$. $$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} L'espérance de $L_3$ vaut donc &=&e^{-t}. Utilisant les limites de l'exponentielle en $+\infty$ et $-\infty$, on en déduit que devrait pouvoir s'écrire comme une intégrale multiple de sur . \cos x&\textrm{ si }x\in [0,\pi/2]\\ 2. 1 Exercices Exercice 1 (Modele de translation et d’` ´echelle) . On s'intéresse à la longueur d'une corde de ce cercle perpendiculaire à la droite $(AB)$ lorsque cette corde est choisie "au hasard". Exercice 1 - Densité ou non? Remarquons que la deuxième intégrale est convergente car $Y$ admet un moment d'ordre 2. $$E(X)=E(e^Y)=\int_{\mathbb R}e^y\frac{e^{-y^2/2}}{\sqrt{2\pi}}dy=\sqrt e\int_{\mathbb R}\frac{e^{-(y-1)^2/2}}{\sqrt{2\pi}}dy.$$ On a donc $$P(Y\leq x)=P(3^X\leq x)=P\left(X\leq \frac{\ln x}{\ln 3}\right).$$ Elle est donc la densité de probabilité d'une variable aléatoire $X$ si $\lim_{x\to-\infty}\int_x^0 f(t)dt=1$. toutes leurs réunions et intersections. S'il s’agit donc du rapport de la masse (m) de la substance par son volume (V, ici en m 3 et non en L). Faire le calcul et utiliser les valeurs connues des moments d'une gaussienne. On en déduit que $Y$ admet une densité donnée, pour $t\neq 1$, par $f(t)=F_Y'(t)$. $$h(Y)=\int_{\mathbb R}f(x)\ln\frac{\varphi(x)}{f(x)}dx-\int_{\mathbb R}f(x)\ln\varphi(x)dx.$$, En déduire que $h(Y)\leq \frac 12\left(1+\ln(2 \pi\sigma^2)\right).$. La vérification est immédiate. III. \textbf{2. D'où le résultat. La fonction $f_6$ n'est pas intégrable sur $\mathbb R$. $$\varphi(x)=\frac{e^x-1}{e^x+1}.$$ Elle est donc intégrable, et $X$ admet bien une espérance. Considérons ensuite une variable aléatoire $U$, indépendante de $\varepsilon$ qui suit une loi uniforme sur $[0,2]$. $$f(x)=\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}.$$. Attention à la position par rapport à $1$. La fonction $\varphi$ est définie sur $\mtr$, dérivable, et vérifie $\varphi'(x)=\frac{2e^x}{(1+e^x)^2}>0$. Ceci entraîne (par un résultat du cours, ou tout simplement en effectuant le changement de variables $u=-x$ dans l'intégrale) que $E(X_3)=0$. $$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=a\lim_{x\to+\infty}\arctan(x)-a\lim_{x\to-\infty}\arctan(x)=a\pi.$$ $$\int_a^b \frac{e^x}{(e^x+1)^2}dx=\left[\frac{-1}{e^x+1}\right]_a^b=\frac{-1}{e^b+1}+\frac{1}{e^a+1}.$$ }f_1(x)=\left\{\begin{array}{ll} $$-\int_{\mathbb R}f(x)\ln\varphi(x)dx=\frac{\ln 2\pi\sigma^2}{2}\int_{\mathbb R}f(x)dx+\frac1{2\sigma^2}\int_{\mathbb R}x^2f(x)dx=\frac12\left(1+\ln(2 \pi\sigma^2)\right).$$. , l'intégrale. \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} Voir plus d'idées sur le thème Logo dentaire, Dentaire, Carte de visite. On a Plutôt que d'utiliser la densité, on va utiliser le théorème de transfert et écrire Donc : On note $F$ sa fonction de répartition (qu'on ne demande pas de calculer). pour que la probabilité d'épuiser ce réservoir soit inférieure à $10^{-5}$? lorsque $x\to-\infty$. Exercice 2 : changement de variables et indépendance pour vecteurs gaussiens Soient X;Yet Ztrois variables aléatoires réelles indépendantes de loi N(0;1). et pour les mêmes raisons, $\int_0^{+\infty}|x|e^{-x}dx$ converge. On a donc $c=5$. vecteurs aléatoires on note la variable aléatoire comptant le \begin{eqnarray*} Le réservoir doit contenir au moins 900 litres. vectorielle ou vecteur aléatoire réel. Exercice 2.2 1.Soit f densité sur Rd et G l’hypographe : G = f(x,y) 2Rd R 0 y f(x)g On pose M de coordonnée (Z,Y) de loi uniforme sur G. Montrer qu’alors la loi du vecteur $$E(X)=\int_0^{+\infty}\big(1-F(x)\big)dx.$$. Pour $t<0$, on a Si les composantes (X 1,...,X d) de X sont des v.a.r. Après changement de variables $u=y-1$, on reconnait $\int_{\mathbb R}e^{-u^2/2}$ qui vaut $\sqrt{2\pi}$. Ainsi, si $t<0$, on a $F_Y(t)=0$. Or, une primitive de $\frac{1}{1+x^2}$ est $\arctan(x)$. $$Y\leq t\iff 1+|X|\leq e^t\iff 1-e^t\leq X\leq e^t-1.$$ &=&P\big(1-X\geq \exp(-\lambda t)\big)\\ Remarquons que les sont évidemment les densités marginales Alors, en intégrant par parties (deux fois), on trouve Pour $x>0$, on a de variables aléatoires gaussiennes, c'est-à-dire suivant des lois événements plus généraux. par. De même, au voisinage de $+\infty$, {\bf Deuxième méthode.} On pose $Y=3^X$. a.3^x&\textrm{si }x<0. En effet, au voisinage de $+\infty$, on a Soit une suite de variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre . &=&\frac{\ln(2\pi\sigma^2)}{2}\int_{\mathbb R}\frac{e^{-(x-m)^2/2\sigma^2}}{\sqrt{2\pi\sigma}}dx+\frac1{2\sigma^2}\int_{\mathbb R}(x-m)^2\frac{e^{-(x-m)^2/2\sigma^2}}{\sqrt{2\pi}\sigma}dx\\ Calculer l'entropie d'une variable aléatoire uniforme. Ecrire $(Y\leq x)\iff (X\leq \dots)$. \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} Déterminer la fonction de répartition de $Y$. Si $X$ est une variable aléatoire admettant une densité $f$, on appelle entropie de $X$ la quantité suivante (si elle existe) &=&\frac{\ln(2\pi\sigma^2)}{2}+\frac1{2\sigma^2}E\big((X-E(X))^2\big)\\ La fonction de répartition $F_Y$ est dérivable sauf en $1$. Si $X$ suit une loi uniforme sur $[a,b]$, alors on a Il suffit de dériver, et on trouve Parmi les fonctions suivantes définies sur $\mathbb R$, déterminer lesquelles sont la densité d'une variable aléatoire à densité. soit inférieure à $10^{-5}$. Si $t\in [-1,1]$, alors on a Densité de la loi de Z dt: La ariablev aléatoire Z= XY a donc une loi absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue, de densité f Z(t) = ( logt)1 [0;1](t). \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \frac{1}{|x|^3}&\textrm{ si }|x|>1\\ }f_3(x)=\frac{e^x}{(e^x+1)^2},\ x\in\mathbb R et donc On en déduit que $F_X(x)=0$ si $x\leq 0$. \begin{array}{ll} Ainsi, pour $t<1$, on a $f(t)=\frac 12e^{(t-1)/2}$ et pour $t\geq 1$, $f(t)=0$. De même, on a \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} Soit X une variable aléatoire de densité donnée par f(t) = (1 2 t + 1 2 si 1 t 1, 0 sinon.